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El Principio de Bernoulli se utiliza universalmente para introducir a los estudiantes en explicaciones confusas, simplificadas y a veces incluso falsas. Es un maravilloso ejemplo de la importancia de los detalles en ciencia.
El debate alcanza su punto �lgido cuando se aplica a la explicaci�n de la sustentaci�n del ala de un avi�n, donde cada cual defiende la suya como si fuese la definitiva y rigurosa, cuando absolutamente todas ellas son simplificaciones para intentar hacer parecer comprensible aquello que s�lo lo ser�a pasando por todos y cada uno de los detalles.
En esta entrada intentar� pasar por todos esos detalles (aunque de manera tambi�n simplificada) para mostrar dos cosas al lector:
1. Que las aplicaciones del principio de Bernoulli en muchas situaciones no se hacen correctamente, incluida en la sustentaci�n del ala de un avi�n.
2. La raz�n que me llevar� a seguir utilizando dicha simplificaci�n para introducir a mis estudiantes en la din�mica de fluidos.
El Principio de Bernoulli suele formularse como el hecho de que, en un fluido en movimiento, la presi�n disminuye al aumentar su velocidad. Veamoslo con un sistema muy utilizado que, curiosamente, suele denominarse tubo de Venturi. Se trata de un tubo con un estrechamiento.
En el estrechamiento aumenta la velocidad del fluido y disminuye su presi�n. La idea est� representada con el aumento de tama�o de burbujas de aire disueltas en el fluido. Vemos en la figura adem�s las trayectorias de estas burbujas, que marcan lo que se conoce como l�neas de flujo o corriente.
La causalidad parece darse en el siguiente orden: La continuidad del flujo obliga a que el caudal sea id�ntico en todas las partes del tubo y por tanto debe cumplirse que
Se produce por tanto un aumento de velocidad en el estrechamiento.
La conservaci�n de la energ�a del fluido implica la disminuci�n de la presi�n con el aumento de velocidad. Si despreciamos los cambios de altura, la ecuaci�n de Bernoulli suele expresarse como
�Aumento de velocidad implica disminuci�n de la presi�n!
Por supuesto nos estamos refiriendo a la presi�n interna del fluido P, conocida habitualmente como presi�n est�tica ―la que mediremos con un man�metro situado paralelamente a la corriente—.
Todos sabemos que, cuando un fluido se ve obligado a disminuir su velocidad debido a la presencia de un obst�culo, puede ejercer una enorme presi�n, resultante del cambio de momento experimentado. Es lo que se conoce como presi�n din�mica 1/2 ρ v�, b�sicamente la energ�a cin�tica del fluido por unidad de volumen.
La mejor demostraci�n de la diferencia de estos dos tipos de presi�n es un tubo de Pitot, dispositivo utilizado para medir la velocidad de un avi�n a partir de la diferencia de presiones.
Mientras que el tubo de cara a la corriente mide la suma de las presiones est�tica y din�mica, los tubos con agujeros exteriores miden s�lo la presi�n est�tica. De la diferencia de presiones, puede deducirse entonces la velocidad del fluido.
La pregunta ahora es de d�nde procede exactamente la ecuaci�n de Bernoulli. Ser�a interesante trazar el rastro hasta las mism�simas ecuaciones de la din�mica. Fue el matem�tico Leonhard Euler el pionero en aplicar las leyes de Newton a la din�mica de fluidos.
La conservaci�n de la energ�a nos dice que el trabajo realizado por la fuerza aplicada sobre el fluido debe ser igual al cambio de energ�a mec�nica (ver sin embargo 上外国的网站东西加速软件). Esto cambia la causalidad intuitiva de que, en un tubo de Venturi, es el aumento de velocidad la causa de la disminuci�n de presi�n. La causalidad ahora parece m�s adecuada a partir de la fuerza que obliga al fluido a cambiar de velocidad. O dicho de otro modo, primero es la diferencia de presiones y luego el cambio de velocidad.
Veamos c�mo podemos deducir la ecuaci�n de Bernoulli a partir de las leyes de la din�mica. Para ello asumamos un elemento de volumen de fluido de densidad ρ movi�ndose en una trayectoria general a lo largo de una l�nea de corriente.
La masa del elemento de volumen de fluido ser�
La segunda ley de Newton puede expresarse como
Sustituyendo la expresi�n para la masa de fluido
Simplificando
Integrando apropiadamente
De donde obtenemos la ecuaci�n de Bernoulli
As�, parece quedar claro que el el campo de presiones (la fuerza) es la causa del cambio de velocidades. Tambi�n deber�a quedar claro que la ecuaci�n de Bernoulli se aplica en una misma l�nea de corriente. Veamos un ejemplo de la aplicaci�n laxa de esta condici�n y c�mo lleva al primer malentendido com�n: mayor velocidad no siempre se relaciona con menor presi�n est�tica.
Supongamos un chorro de fluido a elevada velocidad dentro de un medio en reposo, tal y como el chorro de una manguera o un secador expulsando aire.
Las posiciones A y B est�n a la misma presi�n est�tica, de hecho a la presi�n atmosf�rica. Si no fuese as�, las l�neas de corriente se curvar�an por el gradiente de presiones. Sin embargo, el fluido se est� moviendo en la posici�n A y permanece est�tico en B. Vemos de esa manera tan sencilla que no podemos aplicar el principio mayor velocidad/menor presi�n, consecuencia de la ecuaci�n de Bernoulli, a los puntos A y B, al no encontrarse en una misma l�nea de corriente.
La pregunta que se estar� haciendo el lector es, �y qu� ocurre con el resultado del famoso experimento de la pelota suspendida sobre un chorro de aire, t�pica de los museos de ciencia? Veamos lo que ocurre con la l�neas de corriente en dicho caso
Vemos que las l�nea se curvan, algo que suele atribuirse a la viscosidad del fluido, una nueva cantidad que no forma parte de la ecuaci�n de Bernoulli, aunque se pueda generalizar, para determinadas geometr�as.
Esa tendencia de las l�neas de corriente a “seguir” la forma del objeto es lo que se suele denominar efecto Coandă. La curvatura de las l�neas de corriente implican un gradiente de presiones que, l�gicamente, provoca que la presi�n disminuya hacia la pelota para que, de esta manera, sea coherente con su estabilidad frente a peque�os desplazamientos horizontales.
Veamos si podemos deducir este gradiente de presiones a partir de las leyes de la din�mica.
Ahora podemos expresar la fuerza centr�peta en la direcci�n r como
Sustituyendo de nuevo la masa como
Y simplificando
Como ejemplo sencillo f�cilmente integrable, consideremos un cilindro con agua girando con velocidad angular 𝜔
Tendremos, en este caso
E integrando
-P(0)=\frac{1}{2}\:&space;\rho&space;\,\,&space;\omega&space;^{2}\,&space;r^{2} "\large P(r)-P(0)=\frac{1}{2}\: \rho \,\, \omega ^{2}\, r^{2}")
Se trata de un experimento muy visual donde el incremento de la presi�n a medida que nos alejamos del eje de giro queda perfectamente medida por la altura del agua.
Igualando la diferencia de presiones con la presi�n hidrost�tica, tendremos
O dicho de otra manera, podremos observar la superficie del agua trazando una par�bola con v�rtice en el eje de giro.
Deducimos de esta manera que el gradiente de presi�n aumenta con el radio de curvatura de las l�neas de corriente, aumentando la presi�n a medida que nos alejamos de la pelota suspendida en el chorro de aire. Pero este fen�meno no es consecuencia de la ecuaci�n de Bernoulli que, recordemos, se aplica s�lo a lo largo de una l�nea de corriente.
La primera demostraci�n que uno hace en clase como ejemplo aparentemente trivial del principio de Bernoulli es soplar sobre una hoja de papel. En la imagen la explicaci�n cl�sica.
La explicaci�n puede valer para quedarnos intelectualmente satisfechos, pero el Principio de Bernoulli no es la explicaci�n coherente en este caso. Veamos una explicaci�n m�s acorde con el gradiente de presiones provocado por la tendencia del aire a seguir la superficie de un objeto.
Observamos as� que la presi�n por debajo de la hoja tiene que ser mayor que la atmosf�rica, mientras por encima tiene que ser menor.
Por supuesto, el lector tiene que quedarse con el hecho importante de que hemos asumido el efecto Coandă, por lo que en realidad no hemos explicado todo desde primeros principios. Digamos que la �nica manera de resolver completamente el problema ser�a utilizar las ecuaciones de Navier-Stokes, con las aproximaciones pertinentes, con lo que tampoco ser�amos capaces de hacernos una imagen mental de los agentes causales, pero por lo menos estar�amos seguros de que el comportamiento del fluido se calcula correctamente a partir de los principio de la din�mica. �Calla y calcula!
Y eso que todav�a no hemos siquiera introducido la turbulencia.
En otro ejemplo cl�sico de aplicaci�n del Principio de Bernoulli, imaginemos ahora una brisa uniforme soplando sobre una colina de contorno suave, de tal manera que el flujo de aire se comporte como laminar.
Seg�n hemos visto, la curvatura de las l�neas de corriente se va haciendo m�s suave (mayor radio de curvatura) a medida que nos desplazamos en la direcci�n de B, lo que implica un gradiente de presiones que disminuye hacia lo alto de la colina. La curvatura de las l�neas de corriente est� invertida en las direcciones A y C por lo que la presi�n tiene que aumentar desde la presi�n atmosf�rica alej�ndonos en las direcciones A y C hasta la presi�n cercana a la superficie de la colina.
Sin embargo, basta que las superficies tengan bordes menos suaves para que se produzcan v�rtices y el fluido entre en r�gimen turbulento.
En el caso de un tejado sometido a una fuerte viento, una imagen m�s apropiada que la presentada habitualmente en los libros de texto podr�a ser la de la derecha
Donde, a diferencia de en el caso de la colina suave, la baja presi�n se prolonga a partir del pico del tejado, reforzando la tensi�n sobre la superficie posterior y provocando una fuerza resultante responsable de la rotura de algunos tejados con vientos huracanados.
Esto no introduce de lleno en la eterno debate sobre la raz�n de la sustentaci�n que producen las alas de un avi�n.
La explicaci�n b�sica de nuevo suele ir de la siguiente guisa —al menos cuando se utiliza “correctamente”—:
El quid de la cuesti�n est� en entender el origen del campo de velocidades y presiones del fluido alrededor del ala y qui�n es causa y qui�n efecto.
Por supuesto, s�lo existe una explicaci�n definitiva: soluci�nense las ecuaciones de Navier-Stokes (en concreto las promediadas en Reynolds) para el perfil de ala. En ese sentido, la sustentaci�n de una ala no tienen ning�n misterio para la f�sica y la ingenier�a desde hace mucho a�os. La prueba de ello es que uno puede descargarse una aplicaci�n m�vil donde se simulan objetos en fluidos a partir de la resoluci�n de estas ecuaciones.
La segunda ley de movimiento de Newton aplicada a un elemento fluido sin viscosidad conduce a las ecuaciones de Euler, un sistema de tres ecuaciones (una para cada direcci�n) no lineales en derivadas parciales de primer orden. Las variables dependientes en estas ecuaciones son las componentes de velocidad en las tres direcciones espaciales , la densidad y la presi�n del fluido. Para determinar estas cinco variables, necesitamos adem�s dos ecuaciones m�s en forma de conservaci�n de la masa y conservaci�n de energ�a.
Si incluimos la viscosidad, tenemos las ecuaciones de Navier-Stokes. Pero las de Euler son mucho m�s manejables, as� que un primer paso para simplificar lo casi inmanejable es intentar eliminar la viscosidad pero retener de alguna manera el efecto Coandă, es decir, la tendencia de las l�neas de corriente a seguir el contorno de superficies suaves.
La simplificaci�n m�s sencilla que cumple con estos requisitos y cuantifica las presiones alrededor del ala, resultando capaz de calcular cuantitativamente la sustentaci�n, se conoce como teor�a de perfil aerodin�mico delgado. El efecto Coandă se recupera con una condici�n de contorno conocida como condici�n de Kutta, donde b�sicamente se obliga a las l�neas de corriente a continuar suavemente a partir del borde de salida. Esto descarta las soluciones de la ecuaciones de Euler que no se corresponden con la situaci�n estacionaria con sustentaci�n
Esta teor�a puede implementarse num�ricamente para entender la circulaci�n del fluido y su campo de velocidades y presiones alrededor del perfil de ala. El applet java de libre uso 上外国的网站东西加速软件, disponible en la p�gina de aerona�tica de NASA, nos permite hacer todo tipo de experimentos al respecto.
Ya dedicamos una entrada en este blog a la utilizaci�n de este applet para desmontar la teor�a del encuentro simult�neo de las masas de aire en el borde de salida y el comportamiento de un perfil sim�trico con y sin �ngulo de ataque.
Analicemos otra explicaci�n com�n: la aplicaci�n del tercer principio para entender la fuerza de sustentaci�n como reacci�n al cambio de velocidad y direcci�n del aire que abandona el borde de salida con respecto al que entra por el borde de ataque.
Veamos la derivaci�n de Newton de la deflecci�n por una superficie inclinada de un fluido formado por part�culas
El cambio de momento del fluido en la direcci�n vertical al chocar contra la superficie A ser�
 "\large dp = dm\, \, v_{\infty } \, \, sen (\alpha )")
Con el elemento de masa del fluido dm que puede expresarse como
 "\large dm = \rho\, \, A\, \, ds\, \, sen (\alpha )")
cuya variaci�n con respecto al tiempo ser�
=\rho\,&space;\,&space;A\,&space;\,&space;v_{\infty&space;}\,&space;\,&space;sen&space;(\alpha&space;) "\large \frac{dm}{dt} = \rho\, \, A\, \, \frac{ds}{dt}\, \, sen (\alpha )=\rho\, \, A\, \, v_{\infty }\, \, sen (\alpha )")
La fuerza de reacci�n no ser� m�s que la variaci�n del momento por unidad de tiempo
 "\large \frac{dp}{dt} = \rho\, \, A\, \, v^{2}_{\infty }\, \, sen^{2} (\alpha )")
Vemos que este c�lculo simple predice una fuerza de sustentaci�n dependiente del cuadrado del �ngulo de ataque. A diferencia de lo que muestra el resultado experimental, donde para peque�os �ngulos (< ~10�) la relaci�n es muy aproximadamente lineal.
De hecho, en ese r�gimen lineal, la teor�a de perfil aerodin�mico delgado no lo hace especialmente mal, con la siguiente predicci�n para la fuerza de sustentaci�n (L)
Donde C
L es el coeficiente de sustentaci�n, dado por
}{1+2\,&space;c/l} "\large C_{L}\sim \frac{2\pi \, sen(\alpha )}{1+2\, c/l}")
y c/l es la proporci�n entre la cuerda y la envergadura del ala, lo que respalda la conveniencia de alas delgadas de gran envergadura.
Podemos comprobar esta relaci�n entre la sustentaci�n y el �ngulo de ataque en el simulador.
Existen, sin embargo, cierta argumentaci�n (Waltham 1998, Auerbach 2000) que permite entender la sustentaci�n como reacci�n al cambio de momento del fluido provocado por el ala hacia el suelo, en realidad una aplicaci�n consistente de la segunda y tercera ley. La base es la utilizaci�n de la circulaci�n del fluido alrededor del perfil (ver m�s abajo). Pero la superficie seleccionada para calcular la circulaci�n es fundamentalmente arbitraria, con lo que no ha sido una explicaci�n especialmente popular (ver McLean 2018)
La teor�a de perfil aerodin�mico delgado se aplican por supuesto a un fluido incompresible, sin viscosidad e irrotacional. Pero en dichas condiciones, no puede existir sustentaci�n. La condici�n de Kutta --que “la naturaleza” implementa gracias a la viscosidad del fluido-- introduce una circulaci�n alrededor del perfil de ala que induce la sustentaci�n. Se busca con ello una soluci�n estacionaria con sustentaci�n, pero la manera de llegar hasta ah� es m�s complicada.
Cuando el fluido se mueve a baja velocidad (bajo n�mero de Reynolds) tenemos una soluci�n con un 上外国的网站东西加速软件 (velocidad nula del fluido) en el extrad�s tal y como se ve en (a) de la siguiente figura.
A medida que aumenta la velocidad, el aire no puede mantener el cambio de direcci�n tan pronunciado y se forma un v�rtice inicial que tiende a separarse del perfil del ala. En las simulaciones num�ricas utilizando las ecuaciones de Navier-Stokes, podemos ver esa generaci�n del v�rtice inicial
El v�rtice introduce una circulaci�n antihoraria, por lo que el teorema de conservaci�n de la circulaci�n (junto a los teoremas de Helmholtz) implica la creaci�n de una nueva circulaci�n horaria ligada al perfil de ala.
El teorema de Teorema de Kutta-Joukovski nos garantiza que la circulaci�n de un fluido alrededor de un objeto produce sustentaci�n. Para entenderlo de manera algo informal, fij�monos en la rotaci�n de un objeto en un fluido, t�picamente un cilindro.
La curvatura de las l�neas de corriente ya indica la direcci�n del gradiente de presiones y, por tanto, la direcci�n y sentido de la fuerza de sustentaci�n (elevaci�n en la imagen)
Asumamos que el cilindro tiene una rotaci�n lenta, de tal forma que si nos limitamos a una l�nea de corriente por arriba cercana a la superficie del cilindro, tendr� una velocidad v
∞+v
r. De la misma manera, una l�nea de corriente por abajo tendr� una velocidad v
∞-v
r. Podemos aplicar la ecuaci�n de Bernoulli a una l�nea de corriente que pasa por la parte superior y a otra que pasa por la l�nea inferior. Como la velocidad y la presi�n, cuando nos alejamos del cilindro, tienden al mismo valor (v
∞ y P
∞ respectivamente),tenemos
^{2}=P_{i}+\frac{1}{2}\,&space;\rho&space;\,&space;(v_{\infty&space;}-v_{r})^{2} "\large P_{\infty }+\frac{1}{2}\, \rho \, v_{\infty }^{2}=P_{s}+\frac{1}{2}\, \rho \, (v_{\infty }+v_{r})^{2}=P_{i}+\frac{1}{2}\, \rho \, (v_{\infty }-v_{r})^{2}")
Lo que adem�s justifica el hecho de poder �aplicar el Principio de Bernoulli a las l�neas de corriente por el extrad�s e intrad�s y relacionar las presiones est�ticas respectivas!. Reordenando t�rminos
La fuerza de sustentaci�n ser�
\,&space;\,&space;(2\,&space;\rho\,&space;v_{\infty&space;}&space;\,&space;v_{r&space;})=&space;L\,\,&space;(\rho\,&space;v_{\infty})\,&space;(v_{r&space;}\,2\&space;\pi\,r) "\large F = A\,\, \Delta P = (\pi\, r \, L)\, \, (2\, \rho\, v_{\infty } \, v_{r })= L\,\, (\rho\, v_{\infty})\, (v_{r }\,2\ \pi\,r)")
donde consideramos que la sustentaci�n act�a sobre la mitad de la superficie del cilindro de radio r y longitud L.
La cantidad en el segundo par�ntesis final es lo que se conoce como circulaci�n 𝛤, definida de manera general como
Por tanto, podemos expresar la sustentanci�n (L) por unidad de longitud como
resultado que generaliza el teorema de Kutta–Joukowski.
La teor�a de perfil aerodin�mico delgado procede de hacer una transformaci�n conforme de la circulaci�n del fluido en un cilindro a la circulaci�n en un perfil de ala con una determinada cuerda y combadura, ajustando el valor de la circulaci�n para que cumpla la condici�n de Kutta.
Como pueden ver, las cosas se complican hasta llegar al nivel de "calla y calcula" o mejor "calla y programa un modelo num�rico". As�, que cuando tenga que explicar de nuevo el principio de Bernoulli a mis estudiantes de bachillerato, emplear� el m�todo cl�sico, de tal manera que, cuando lleguemos a la sustentaci�n, el di�logo podr� establecerse de la siguiente guisa:
�Por qu� un ala consigue sustentaci�n?
Explicaci�n Bernoulli (justificada aunque no se refiera a una misma l�nea de corriente): porque el aire se mueve m�s r�pido por el extrad�s que por el intrad�s y por tanto se establece una diferencia de presiones.
�Pero por qu� el aire se mueve m�s r�pido por el extrad�s?
Porque tiende a seguir la superficie del ala y se establece as� un gradiente de presiones que tiende a disminuir hacia la superficie del extrad�s empujando al aire y aumentando su velocidad.
[Como se observa, la causalidad se puede utilizar en ambas direcciones: el movimiento del fluido crea un campo de presiones que establece el campo de velocidades... (ver McLean, D. (2018))]
�Y por qu� tiende a pegarse a la superficie del ala?
Explicamos c�mo se produce el efecto Coandă (ver v�deo en el texto).
[Tenga en cuenta el lector que el efecto Coandă puede ser explicado sin necesidad de recurrir a la viscosidad del aire, aunque por supuesto, en �ltima instancia, es consecuencia de �sta]
La principal moraleja de esta entrada es que la eterna pol�mica sobre el uso apropiado del principio de Bernoulli, el efecto Coandăo el tercer principio de la din�mica para explicar por qu� vuela un avi�n es un debate de sordos. Podemos utilizar la explicaci�n m�s conveniente para rebajar el nivel t�cnico y que el oyente lo entienda al nivel apropiado a sus conocimientos, que es lo que hacemos todo el rato al explicar la f�sica. Siempre existir� un nivel de explicaci�n m�s formal y m�s abstracto hasta alcanzar en �ltima instancia el �calla y calcula!
Referencias
Babinsky, Holger 2003 How do wings work? Phys. Educ. 38 497
Eastwell, Peter Bernoulli? Perhaps, but What About Viscosity? The Science Education Review, 6 (1), 2007
Deshpande, M.D. & Sivapragasam, M. Reson (2017) How do wings generate lift? 1. Popular myths, what they mean and why they work 22: 61. http://doi.org/10.1007/s12045-017-0433-x
Deshpande, M.D. & Sivapragasam, M. Reson (2017) How do wings generate lift? 2. Myths, Approximate Theories and Why They All Work
Hewitt, Paul G. 2004 Bernoulli's Principle NTSA
McLean, D. (2018). Aerodynamic Lift, Part 1: The Science. The Physics Teacher, 56(8), 516–520. doi:10.1119/1.5064558
McLean, D. (2018). 一些实用的加速器国外网站手段 - 简书:一些实用的加速器国外网站手段 Express加速器 比较稳定 贵 https://www.get-express-vpn.me/zh-cn/order 蓝灯 相对便宜 有人说严的时候2.3 ....
The Physics Teacher, 56(8), 521–524. doi:10.1119/1.5064559
Navinder Singh, K. Sasikumar Raja, P. Janardhan 2018 Clearing certain misconception in the common explanations of the aerodynamic lift preprint
Suarez, �lvaro et al 2017 Students’ conceptual difficulties in hydrodynamics Phys. Rev. Phys. Educ. Res. 13, 020132 DOI:http://doi.org/10.1103/PhysRevPhysEducRes.13.020132
Weltner, Klaus 2011 有些国外网络进不了怎么办 我想进国外的网站可是进:2021-6-13 · 1.网站进不去原因就多了,你自己的网速问题,你的电脑设置问题,你的软件设置(防火墙)等等,对方网站是否正常运行,是否访问用户太多,是否网络有问题等等, 2.互联网的概念是互相连通,所伡不管什么国家哪一台计算机,理论上连接... University of Frankfurt
Frank M. White 2016 Fluid Mechanics. McGraw-Hill. 8th edition.
2018-12-10 20:56 | Fisica |
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En 1901, el meteor�logo sueco, gran amigo de Arrhenius, Nils Gustaf Ekholm (1848 – 1923) public� una explicaci�n somera pero correcta del mecanismo de calentamiento de la atm�sfera por gei. Sin embargo tambi�n introdujo la conocida analog�a con un invernadero de jardiner�a. En sus propias palabras:
La atm�sfera desempe�a una parte muy importante de un doble car�cter en cuanto a la temperatura de la superficie terrestre, de las cuales la primera fue apuntada por Fourier, mientras que la otra fue se�alada por Tyndall. 只剩下门缝的VPN何去何从-新华网 - XINHUANET.com:2021-2-7 · 只剩下门缝的VPN何去何从---工信部严管VPN提速，北京商报记者调查发现，在iOS与安卓的手机应用商城中，VPN App种类多样，可伡畅游海外多国。中国网络空间战略研究所所长秦安也为“防火长城”指出，事关网络空间主权，中国当然不能对这些服务视而不见。.
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2018-08-13 13:00 | Cambio climatico, Fisica |
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El 19 de julio de 1848 se celebraba en Seneca Falls (New York) la primera convenci�n sobre los derechos de la mujer. Asistieron unas 300 personas, entre hombres y mujeres. En el segundo d�a, el 20 de julio, 68 mujeres y 32 hombres aprobaron la Declaraci�n de Sentimientos, un texto considerado como fundacional del feminismo en cuanto a movimiento social, e inspirado en la Declaraci�n de Independencia de Estados Unidos.
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2018-03-09 20:15 | Cambio climatico, Historia |
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El pasado 3 de enero la Tierra alcanzaba la m�nima distancia al sol, punto de la �rbita conocido como perihelio
Por supuesto, las representaciones el�pticas de la �rbita terrestre son una exageraci�n visual de lo que ser�a m�s apropiadamente un c�rculo
Comparaci�n a escala de un c�rculo de radio 1 unidad astron�mica (ua) con la verdadera elipse de la �rbita terretre.
El perihelio coincide muy aproximadamente con el solsticio de invierno, pero se trata solamente de una coincidencia temporal. El eje de rotaci�n de la Tierra describe una circunferencia en un periodo de unos 26000 a�os. Es el conocido fen�meno de la precesi�n de los equinoccios.
La �rbita de la Tierra tambi�n est� sometida a su propio movimiento de precesi�n del perihelio provocada por la influencia gravitatoria de J�piter y Saturno principalmente, con un periodo de unos 112000 a�os.
Ambos movimiento, se combinan para provocar un ciclo de traslaci�n del perihelio con respecto a las estaciones con un periodo medio de unos 23000 a�os.
Ciclo aprox. de 20 mil a�os del movimiento relativo de las estaciones con respecto al perihelio. El ciclo var�a entre 20 y 29 mil a�os con una media de 23 mil.
Esas variaciones orbitales podr�an explicar parcialmente la raz�n del �ptimo Clim�tico del Holoceno hace unos 6000 a�os. Hace diez mil a�os se alcanzaba un m�ximo de insolaci�n en latitudes elevadas del hemisferio norte debido a que el verano se encontrar�a en parte de la �rbita cercana al perihelio.
Esa situaci�n empez� a cambiar de manera significativa hace unos 6000 a�os, donde el invierno empezar�a a ocupar ese lugar, provocando una tendencia progresiva al enfriamiento que parece haberse encontrado en los indicadores de los �ltimos dos milenios
Anomal�a de temperaturas en el �rtico deducidas a partir de varias series de indicadores (proxies). La tendencia de enfriamiento parece correlacionada con la disminuci�n progresisva de la isolaci�n a 65�N(F). Science 04 Sep 2009: Vol. 325, Issue 5945, pp. 1236-1239 DOI: 10.1126/science.1173983
La periodicidad clim�tica dominada por el ciclo de la precesi�n control� las variaciones clim�ticas varios millones de a�os antes de los �ltimos 3 millones aproximadamente. A partir de ese momento empez� a dominar un nuevo ciclo de 41000 a�os que iniciar�a las grandes glaciaciones del hemisferio norte provocadas por las variaciones de la oblicuidad del eje de rotaci�n entre unos 22 y 24,5�
Misteriosamente, pues todav�a no estamos seguros de las causa, esos ciclos glaciales cambiaron a una periodicidad de cien mil a�os durante el �ltimo mill�n de a�os que ha provocado las �ltimas ocho glaciaciones.
Ciclos orbitales dominantes durante los �ltimos 10 millones de a�os. Las eras glaciales del Pleistoceno empezaron con el ciclo de oblicuidad como dominante pasando hace unos 850000 a�os a estar dominada por el ciclo de cien mil a�os. Fuente: John L. Brooke Climate Change and the Course of Global History Cambridge University Press 2014 .
El misterio procede de que, aunque las variaciones de la excentricidad de la �rbita terrestre presentan una periodicidad de 100 mil a�os, la variaci�n de insolaci�n producida por este cambio es de mucho menor magnitud que la provocada por los otros movimientos orbitales de nuestro planeta.
La �rbita de la Tierra permanece muy aproximadamente circular, con una excentricidad menor que 0,02 (actualmente de 0,0167)
Variaci�n de la excentricidad de la �rbita terrestre en el tiempo (banda negra) donde el cero de la escala representa el momento presente (2007).
Las variaciones de la insolaci�n al cambiar la forma de la �rbita se podr�an producir por dos razones: por la diferencia de insolaci�n entre el perihelio y el afelio, que aumenta a medida que la �rbita se hace m�s el�ptica y por la duraci�n de las estaciones, menor para aquellas que coinciden cerca del perihelio, debido a la mayor velocidad de la Tierra en esa parte de la �rbita.
Los tres ciclos de insolaci�n provocados por los diferentes 上外国的网站东西加速软件 se conocen como Ciclos de Milankovitch y fueron 上外国的网站东西加速软件 de manera pionera en la d�cada de 1870 por el escoc�s James Croll. Los c�culos de Croll fueron perfeccionados independientemente en los a�os veinte del siglo pasado por el astr�nomo serbio Milutin Milanković. Aunque lo cierto es que no existe una teor�a consolidada del mecanismo que provoca la influencia de la insolaci�n en los ciclos glaciales.
Los tres ciclos de insolaci�n debido a movimientos orbitales investigados originalmente por Milutin MilankovićPrecesi�n(23k), Oblicuidad(41k) y Excentricidad(100k)
La tormenta perfecta en t�rminos orbitales para un clima m�s c�lido parece que se producir�a en la coincidencia de un periodo de m�xima excentricidad, elevada oblicuidad y un perihelio coincidente con el solsticio de verano. Pero lo cierto es que, como hemos visto, nos hallamos en condiciones menos extremas que nos llevar�an a un ligero enfriamiento gradual sin el efecto del CO2 de las emisiones industriales.
Dicho de otra manera, debido al cambio qu�mico, sin apenas precedentes geol�gicos, que nuestra civilizaci�n industrial est� provocando la atm�sfera, hemos evitado muy probablemente la pr�xima edad de hielo durante el pr�ximo ciclo de cien mil a�os. El problema es que en muy poco tiempo (unas cuantas d�cadas) no s�lo podr�amos haber evitado tener varios kil�metros de hielo hasta Centro-Europa dentro de algunas decenas de milenios, sino que, si no hacemos nada para evitarlo, cambiaremos a otro r�gimen clim�tico mucho m�s parecido al del Cret�cico, cuando los dinosaurios dominaban La Tierra, mucho m�s tropical y con una temperatura media de varios grados por encima de la actual. Y sin llegar tan lejos, incluso, ya hemos abandonado el r�gimen estable de temperaturas (variaciones <1�C) que nos acompa�� durante todo el desarrollo de la civilizaci�n durante el holoceno.
�Y a qui�n le importa lo que pase dentro de diez mil a�os? �No ser� adem�s una bendici�n el haber evitado la pr�xima glaciaci�n? Bueno, el problema es que en el interludio, el clima se ir� volviendo cada d�a m�s extremo, con olas de calor, inundaciones, sequ�as, tormentas cada vez m�s frecuentes y m�s destructivas, entre otras muchas cosas. �Entienden ahora un poco mejor la importancia de los acuerdos de Par�s?
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Edit� un resumen con gran parte de las referencias relevantes en Wikipedia
Bartlein, P.J., Harrison, S.P., Brewer, S. et al. Pollen-based continental climate reconstructions at 6 and 21 ka: a global synthesis Clim Dyn (2011) 37: 775. http://dx.doi.org/10.1007/s00382-010-0904-1
Chris Colose. Milankovitch Cycles. Skeptical Science 2011
Darrell S. Kaufman et al. Recent Warming Reverses Long-Term Arctic Cooling. Science 04 Sep 2009: Vol. 325, Issue 5945, pp. 1236-1239 DOI: 10.1126/science.1173983
John L. Brooke Climate Change and the Course of Global History Cambridge University Press 2014
Peter Huybers Combined obliquity and precession pacing of late Pleistocene deglaciations Nature 480, 229–232 (08 December 2011) doi:10.1038/nature10626
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Esta entrada empez� a fraguarse despu�s de leer un art�culo en El Mundo donde Antonio Ruiz de Elvira intentaba explicar el significado de la ecuaci�n m�s famosa de la f�sica E = m c� y al que C�sar Tom� calific�, con mucho acierto, de anti-divulgaci�n.
El objetivo no es sin embargo competir por la explicaci�n m�s sencilla, divulgativa y entretenida de la conocida ecuaci�n. Ya eso se ha hecho hasta la saciedad y desde luego no es mi intenci�n competir con la explicaciones de monstruos de la divulgaci�n como Neil Tyson, Alan Guth, Brian Greene o Brian Cox
Al contrario, no pretendo tanto hacer divulgaci�n en el sentido de hacer creer al lector que ha entendido algo, ocultando las complejidades, sino mostrarle lo importante que es atacar los conceptos desde diferentes perspectivas, incluyendo la hist�rica con el uso de fuentes originales.
Advertencia: habr� f�rmulas, aunque limitadas a multiplicaciones, divisiones, cuadrados, ra�ces cuadradas y el teorema de Pit�goras. Sin embargo, tratar� de que el lector pueda salt�rselas a conveniencia y a�n el texto pueda resultar legible e interesante… o al menos comprensible. Y para el lector que no quiera entrar en las complejidades, recordar las palabras de Richard Feynman:
“Si no te gusta, vete a otra parte. Por ejemplo a otro universo donde las reglas sean m�s sencillas”.
Lo primero es lo primero: c�mo utilizamos la ecuaci�n
Sin pararnos ahora en el significado de las cosas, lo primero que tenemos que entender es qu� representa cada uno de los s�mbolos.
E es energ�a y se mide en julios, aunque ciertamente sea una unidad muy poco utilizada. Todos estamos m�s familiarizados con la calor�a o con el kwh por ejemplo. Los f�sicos de part�culas en cambio prefieren el electronvoltio (eV) y suelen medir las masas de las part�culas en esta unidad de energ�a, aprovechando precisamente la presunta equivalencia en la famosa ecuaci�n
m es la masa, un concepto con una larga historia llena de contradicciones, algunas de las que jugar�n un papel relevante en el significado �ltimo de esa m.
c es la velocidad de la luz y c� es, como estoy seguro que todo los lectores sabr�n, el producto c � c. La velocidad de la luz es, redondeando, 300 millones de metros por segundo (3 � 10⁸ m/s) y su cuadrado 9 � 10�⁶ m�/s� (o, equivalentemente, J/kg)
Se suele mostrar lo elevada de esa cifra calculando que un solo gramo de materia convertido totalmente en energ�a pueda generar 90 billones de julios (10⁻� kg � 9 � 10�⁶ J/kg = 9 � 10�� J) o, en n�meros redondos, unos 20 kilotones, la energ�a generada por la explosi�n de Fat Man en Nagasaki.
La masa se convierte en energ�a
Vayamos con un ejemplo m�s interesante. El n�cleo de nuestro Sol es un aut�ntico reactor nuclear de fusi�n donde se producen una serie de reacciones nucleares algo complicadas pero que se puede resumir en que cuatro n�cleos de hidr�geno (protones) se convierten en un n�cleo de helio (dos protones y dos neutrones)
Si nos vamos a la tabla peri�dica de los elementos, podemos observar que un �tomo de helio pesa algo menos que cuatro �tomo de hidr�geno, de hecho un 0,7% menos. �Qu� ha ocurrido con esa masa desaparecida?
Recordemos de la secundaria que una unidad de masa at�mica (uma) equivale a 1,66 � 10⁻�⁷ kg. El defecto de masa entre el helio y los cuatro hidr�genos es, mirando de nuevo la tabla peri�dica, 4 � 1.0079 - 4.0026 = 0,029 uma. Podemos convertir esa masa en energ�a utilizando de nuevo la famosa ecuaci�n de Einstein
E = m c� = 0,029 uma � 1,6 10⁻�⁷ kg � 9 10�⁶ J/kg ~ 4,43 10⁻�� J ~ 26 MeV
Los f�sicos nucleares y de part�culas dir�an que el defecto de masa de esa serie de reacciones nucleares es de unos 26 MeV, que en realidad es una unidad de energ�a, no de masa. Ese es un ejemplo pr�ctico del uso de la ecuaci�n de Einstein.
Sabemos adem�s que en un segundo el Sol emite unos 4 � 10�⁶ J de energ�a
[1]. Vamos a utilizar nuestra famosa ecuaci�n para ver cu�nta masa ha perdido el Sol en un solo segundo
m = E / c� = 4 10�⁶ / 9 10�⁶ = 4 10⁹ kg
o, lo que es lo mismo, unos 4 mil millones de kg de masa pierde el Sol cada segundo debido a las reacciones de fusi�n que se producen en su n�cleo. Alguien podr�a pensar que con esa cantidad de masa perdida nos podr�amos quedar pronto sin nuestra estrella, pero, en t�rminos relativos, se trata del equivalente para una persona de perder el peso de un virus cada segundo. De hecho, en ese tiempo, perdemos en torno a unas 10 c�lulas de la piel.
Como curiosidad, esos dos n�mero que hemos calculado anteriormente le permitir�a a cualquier alumno de bachillerato estimar de manera muy sencilla el flujo de neutrinos solares. Puesto que en cada cadena prot�n-prot�n (como vemos en la figura anterior) se producen dos neutrinos, tendremos
2 � (4 � 10�⁶ J )/ (4,43 10⁻�� J) ~ 2 10�⁸ neutrinos cada segundo
Ese n�mero es enorme, pero no nos dice mucho. Si dividimos por la superficie de las esfera cuyo radio es una unidad astron�mica (distancia Tierra-Sol) y la expresamos en cm, obtendremos el n�mero de neutrinos que atraviesa cada cm� de nuestra piel por segundo
O en cifras que todos podamos entender, unos 70 mil millones de neutrinos. En n�meros redondos, un bill�n de neutrinos han atravesado el dedo del lector mientras le�a la frase anterior. �Y sin embargo lo complicada que resulta su detecci�n!
En resumen, hemos visto que es posible convertir masa en energ�a en una cantidad dada por la ecuaci�n de Einstein.
La energ�a tambi�n puede convertirse en masa
Sigamos investigando un poco m�s sobre lo que ocurre en las reacciones de fusi�n del Sol. Si cuatro protones se han convertido en un �tomo de helio y un �tomo de helio tiene dos protones y dos neutrones, �voil�!; por arte de magia dos protones han tenido por el camino que transmutarse en neutrones. Como se ve en la figura anterior de la cadena prot�n-prot�n, en esa reacci�n adem�s se produce un positr�n (antipart�cula del electr�n) y un neutrino. Se trata de una desintegraci�n beta. Pero hay un problema. Esas tres part�culas pesan m�s que la part�culas original.
En el caso del Sol, cuando se produce la colisi�n de dos protones, se forma temporalmente un n�cleo de Helio-2 (diprot�n) que es altamente inestable. Habitualmente, este He-2 inestable vuelve a desintegrarse, produciendo de nuevo dos protones. Pero en una de cada 10�⁸ de estas colisiones, se produce un n�cleo de Deuterio donde uno de los protones se transmuta en un neutr�n a costa de la energ�a nuclear de ligadura. La desintegraci�n beta de un prot�n en un neutr�n necesita siempre producirse dentro de un n�cleo at�mico. As�, aparentemente, la energ�a tambi�n puede convertirse en masa: la segunda consecuencia de la ecuaci�n de Einstein.
La energ�a cin�tica necesaria de las protones para que se produzca la reacci�n de fusi�n es del orden de 1 MeV. El n�cleo del Sol se encuentra a unos 15 millones de grados y una presi�n de unas 300 mil millones de atm�sferas, lo que parece suficiente temperatura y presi�n para agitar y juntar los protones para puedan superar la repulsi�n el�ctrica mutua. Pero si hacemos el c�lculo
[2] vemos que se queda corto con algo menos de una mil�sima de esa energ�a. �C�mo se produce entonces la reacci�n? La respuesta es que interviene un efecto cu�ntico conocido como efecto t�nel que permite a las part�culas con menor energ�a cin�tica de la necesaria para, desde el punto de vista cl�sico, penetrar una barrera de potencial, tener una cierta probabilidad cu�ntica de hacerlo.
La moraleja es que no s�lo con la ecuaci�n de Einstein podemos entender c�mo brilla el Sol. Necesitamos tambi�n los efectos cu�nticos. �Dios tambi�n juega a los dados en el interior de las estrellas!.
El lector m�s atento habr� notado cierta contradicci�n. Por un lado dec�amos que el n�cleo de helio pesa menos que los cuatro protones iniciales para luego afirmar que los componentes del n�cleo de helio (dos protones y dos neutrones) pesan m�s que los cuatro protones iniciales. Algo se nos escapa. Y lo que se nos escapan son las fuerzas nucleares fuertes. La transmutaci�n entre protones y neutrones est� controlada por la fuerza nuclear d�bil. Pero la ligadura de estas part�culas en el n�cleo se comporta como una energ�a potencial negativa, es decir, de manera an�loga a un objeto atrapado en un planeta que necesita una velocidad de escape para salir, que es en �ltima instancia la que hace disminuir la masa del n�cleo de helio con respecto a la suma de las masas en reposo de sus componentes. La energ�a del Sol procede en �ltima instancia de la energ�a potencial de la interacci�n fuerte.
Pero en f�sica siempre hay una �ltima sutileza...
Decir que la masa se convierte en energ�a y la energ�a en masa es s�lo una manera de mantenernos en nuestra zona de confort de la f�sica cl�sica. No hay una diferencia esencial entre la conservaci�n de la energ�a en una reacci�n qu�mica y una nuclear. Podemos intentar identificar la forma de la energ�a (cin�tica, el�ctrica, nuclear, etc) y c�mo cambia de unas formas a otras, pero lo cierto es que podemos llamar masa a la cantidad E/c� o podemos conformarnos con la masa en reposo. Y �sta s�lo parece ser una cantidad (como masa en reposo) caracter�stica de part�culas subat�micas simples, puesto que la masa por ejemplo del prot�n resulta esencialmente de la energ�a de ligadura de sus quarks contituyentes mediada por gluones.
La imagen que un f�sico nuclear tiene de un prot�n es m�s parecida a la siguiente, donde las espirales representan gluones (el mediador de la interacci�n nuclear fuerte), las esferas rojo-verdes emparejadas representan pares virtuales quark-antiquark y las esferas individuales los tres quarks de valencia que habitualmente se mencionan como componentes de un nucle�n.
�Son entonces energ�a y masa lo mismo?
La respuesta corta es un rotundo NO. Iremos m�s tarde con los matices. En realidad veremos que la entidad fundamental en relatividad es lo que se denomina energ�a-momento y no tanto la masa. Para intentar entender este aspecto, vamos a empezar con un caso m�s sencillo relacionado con la interacci�n de distancias y tiempos.
La dilataci�n del tiempo a trav�s del intervalo
Si medimos el tiempo transcurrido entre dos eventos --como por ejemplo la emisi�n de un fot�n en la fotosfera solar y su recepci�n en la superficie terrestre-- y medimos la distancia entre ambos eventos (la distancia al Sol en este caso), hay una cantidad muy importante en relatividad que denominamos intervalo, tambi�n denominado tiempo propio.
El intervalo es muy f�cil de determinar. Como si se tratase de un simple an�logo del teorema de Pit�goras, podemos utilizar un tri�ngulo rect�ngulo para entenderlo
Aplicando el teorema de Pit�goras, tendremos
intervalo� = tiempo� - distancia�
Para ver que la formulita es sencilla de usar, los fotones emitidos por la superficie solar tardan algo m�s de 8 minutos en llegar desde el Sol a la Tierra recorriendo una distancia de unos 150 millones de km, aunque para hacer el c�lculo mucho m�s sencillo podemos expresar esa distancia como 8 minutos-luz. Si sustituimos entonces con las unidades apropiadas
intervalo� = (8 min)� - (8 min-luz)� = 0
El intervalo es por tanto cero. Nuestro tri�ngulo quedar�a en ese caso algo as� como
Es decir, un triańgulo totalmente aplastado y convertido en una l�nea horizontal, lo que s�lo es un reflejo de que para un fot�n --y para cualquier part�cula que viaje a la velocidad de la luz-- se pueden utilizar distancias y tiempos como dos cantidades intercambiables que difieren s�lo en un cambio de unidades dado por la velocidad de la luz.
Distancia = velocidad de la luz � tiempo
Y sin embargo a nadie se le ocurrir�a decir en general que la distancia y el tiempo son la misma cosa, aunque precisamente la teor�a de la Relatividad nos mostraras que son dos cantidades �ntimamente relacionadas.
Cuando medimos dos eventos que se producen en el mismo lugar, la distancia es nula y el tri�ngulo queda aplastado verticalmente se la siguiente forma:
Vemos que en ese caso el intervalo coincide con el tiempo y por eso se le denomina muchas veces tiempo propio.
El intervalo tiene una propiedad interesante. Es un invariante relativista. Esas dos palabras juntas significan que, a diferencia de nuestras medidas de tiempos y distancias, el intervalo no depende del estado de movimiento del observador que haga las mediciones. Podemos utilizar ese hecho para, de una manera muy sencilla, deducir la relaci�n entre los intervalos de tiempo que mide un observador en reposo y otro que se mueve con cierta velocidad subido a un cohete.
Supongamos para ello que Estrella viaja en un cohete a velocidad
v y que su gemela Consuelo se queda en tierra. Estrella mide el tiempo
t para, por ejemplo, un latido de su coraz�n, el tiempo propio de cada latido. Consuelo sin embargo mide un tiempo
T
Dibujemos ahora nuestro tri�ngulo en unidades coherentes (segundos) tal y como lo har�a Consuelo
Donde hemos sustituido en rojo el intervalo medido por Consuelo por el medido por Estrella (�pues son iguales!) que es igual a su intervalo de tiempo t al estar quieta, desde su punto de vista.
Del tri�ngulo anterior deducimos otro viejo conocido de todos los apasionados de la f�sica; la dilataci�n del tiempo
Por ejemplo, si el cohete se mueve al 89% de la velocidad de la luz (v/c = 0,89), Consuelo medir� que los latidos del coraz�n de Estrella van la mitad de r�pidos que los suyos (T = 2 t).
Advertencia al lector: aunque he utilizado dos gemelas, lo que estamos explicando es la dilataci�n del tiempo sin explicar detalladamente qu� es lo que ocurre si Estrella regresa con su cohete a la Tierra, lo que se conoce como Paradoja de las gemelas.
Masa, momento y energ�a
La situaci�n es exactamente an�loga para las cantidades masa (invariante relativista an�loga al intervalo), energ�a (an�loga al tiempo) y momento lineal (an�logo de la distancia). Recuerden de sus clases de secundaria que el momento no es m�s que una medida de la “cantidad de movimiento” de un objeto e igual, cl�sicamente, al producto de la masa por la velocidad. El momento es esa cantidad que hace preferible que tiren una pelota de ping pong a 60 km/h que chocar con un tren a tan solo 5 km/h.
En analog�a con la definici�n de intervalo, podemos definir el siguiente tri�ngulo rect�ngulo.
Y utilizando el teorema de Pit�goras, escribir la relaci�n
Energia� = Masa� + Momento�
Si escribimos las unidades apropiadamente, necesitamos a�adir un factor de conversi�n conveniente, que es alguna potencia adecuada de la velocidad de la luz.
Esa es la versi�n sofisticada de E = m c� que utilizan los frikis con un doctorado en f�sica. Uno de los objetivos de esta entrada era llegar hasta aqu�. Esa relaci�n es mucho m�s general e interesante que la famosa ecuaci�n de Einstein. La masa que aparece all�, al ser un invariante (justo como lo era el intervalo), tiene que corresponderse con la masa en reposo de la part�cula en cuesti�n. De hecho, vemos que cuando una part�cula est� en reposo y el momento es cero, se reproduce la famosa relaci�n de Einstein E = m c� . Pero ahora deber�amos entender que esa energ�a es la energ�a en reposo al igual que m se corresponde con la masa en reposo de la part�cula.
Nuestra representaci�n ser�a una l�nea vertical donde masa y energ�a son dos maneras de medir la misma cantidad y s�lo difieren en un mero factor de conversi�n de unidades: el cuadrado de la velocidad de la luz.
Part�culas sin masa en reposo
Pero mucho m�s interesante en esa ecuaci�n es ver lo que ocurre cuando la masa en reposo es cero, como sucede con los fotones. Nuestro tri�ngulo ahora se aplastar�a sobre el cateto horizontal, lo que significa que su energ�a procede exclusivamente de su movimiento a la velocidad de la luz.
En este caso particular, energ�a y momento se comportan como dos aspectos de la misma cantidad que s�lo difieren en la conversi�n de unidades con un factor constante, que es la velocidad de la luz de nuevo. La historia se repite.
Energ�a = velocidad de la luz × Momento
De nuevo, nadie dir�a que energ�a y momento son la misma cosa o equivalentes en general.
Dejemos que Minute Physics nos haga un peque�o resumen de esta �ltima parte
Masa en reposo y masa relativista: la eterna pol�mica
Realicemos ahora un peque�o experimento mental actualizado an�logo al realizado por Einstein en la deducci�n de su famosa ecuaci�n. Imaginemos que nos vamos al LHC y observamos un evento muy infrecuente que es, despu�s de hacer colisionar dos haces de protones de muy alta energ�a, la desintegraci�n de un bos�n de Higgs en dos fotones de radiaci�n gamma [ver el magn�fico v�deo de Rub�n Lijo para presentar al bos�n de Higgs]
En la imagen podemos ver todav�a al bos�n de Higgs inicial en el centro, que obviamente ya no est� ah� despu�s de su desintegraci�n. Vamos a considerar el punto de vista de un observador que viese el bos�n de Higgs inicialmente en reposo. Seg�n los resultados experimentales la masa en reposo del Higgs est� en unos 125 GeV, que es equivalente a la energ�a inicial de nuestro sistema. El momento es cero, puesto que el observador seleccionado ve el Higgs sin ning�n movimiento.
Despu�s de la desintegraci�n tenemos dos fotones que se mueven en sentidos opuestos llevando la mitad de energ�a cada uno, puesto que la energ�a es una cantidad conservada. Como el momento tambi�n es otra cantidad conservada, tiene que ser cero. Eso significa, como hab�amos visto, que cada fot�n lleva un momento igual a su energ�a. A diferencia de la energ�a, el momento tiene direcci�n y sentido (es una magnitud vectorial) y se suma como tal. Dos momentos iguales en sentidos opuestos suman cero.
Nuestra regla del tri�ngulo nos dice que deber�a existir una cantidad M igual a la suma de las energ�as de los dos fotones M = E/c� Esa cantidad M es lo que se ha denominado masa relativista. Pero piensen que en este caso es una cantidad distinta a lo que pensamos normalmente como masa. Es un n�mero aplicado al sistema f�sico formado por los dos fotones. �D�nde se encuentra esa masa? Para darle cierta coherencia, algunos interpretan esa masa como masa en reposo de un punto situado en el centro geom�trico de los dos fotones al que se suele denominar, por razones obvias, centro de masas.
El problema surge cuando deseamos aplicar esa noci�n de masa relativista a una sola part�cula. Pensemos ahora en un solo fot�n. Como obviamente contienen energ�a, podemos asignarle una cantidad E/c�, que podr�amos denominar masa relativista de un fot�n. Pero tenemos que pensar que esa cantidad es diferente de la M anterior, pues no procede de la regla del tri�ngulo --recordemos que para un fot�n la regla del tri�ngulo era una l�neas horizontal con masa en reposo nula. Esa masa relativista aplicada a una part�cula encima no es invariante, es decir, depende de la velocidad de la part�cula. As� que parece ser una cantidad poco recomendable de manejar y de hecho los f�sicos de part�culas suelen “condenar” su uso.
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Einstein descubri� su famosa relaci�n utilizando un ejemplo similar al de la desintegraci�n del Higgs, comparando los puntos de vista de dos observadores, uno en reposo y otro en movimiento respecto al centro de masas. Sin embargo, Einstein ten�a claro que se refer�a siempre a la masa inercial. Intuitivamente tendemos a asociar masa a un “trozo de algo” y la asociaci�n de una masa a una part�cula nos resulta natural. De hecho, la definici�n de masa que nos suelen dar en la qu�mica de secundaria es algo as� como “cantidad de materia que contiene un objeto” y que Isaac Newton defini� como el producto de la densidad por el volumen. La masa inercial, sin embargo tiene una definici�n muy concreta y no es m�s que la divisi�n entre momento y velocidad
[3]
M = p/v
Si queremos ser consecuentes con esa definici�n, es cuando surgen una gran cantidad de matices, como que el fot�n tiene masa inercial coincidente con su masa relativista
M = p/c = E/c�
Uno de los atractivos de esa “masa” relativista es que nos podr�a hacer entender de manera natural, y desde un punto de vista newtoniano b�sico, el hecho que los fotones pesen. �C�mo sabemos que los fotones pesan, es decir, son atra�dos por la gravedad? �La famosa medida de Eddington de la curvatura de la luz en el Eclipse de Sol de 1919! Sin embargo no hizo falta esperar a dicha medida. Einstein sab�a, desde el punto de vista te�rico, que ten�a que suceder. Incluso en la teor�a gravitatoria de Newton, los fotones, seg�n nuestra nueva “masa” relativista tendr�an que ser atra�dos por la gravedad, aunque de manera distinta a como lo hace en Relatividad General.
El �ngulo de desviaci�n de la luz al pasar cerca de un cuerpo masivo es en la teor�a general de la relatividad justo el doble que en la newtoniana. Fuente de la imagen
La clave del descubrimiento de Einstein y su predicci�n de la curvatura medida por Eddington es que la gravedad no atrae a la masa. Atrae a esa extra�a entidad que hemos denominado energ�a-momento del fot�n. Por tanto vemos que la masa inercial que coincide con la masa relativista tambi�n es la masa gravitatoria
[4], lo que parece se�alar --aparentemente-- que estamos en la buena direcci�n
[5].
Si definimos para un part�cula la masa relativista M = E/c�, la regla del tri�ngulo ser�a
M� = (E/c�)� = m� + (p/c)�
que como vemos, depende del momento y por tanto de la velocidad, --relaci�n que puede deducirse de la anterior sustituyendo p = M v-- y que suele escribirse como
Este aumento de la masa con la velocidad ha sido utilizada en much�simos libros, incluidos algunos de texto como el de las famosas Feynman Lectures. Hawking la utiliz� en su famoso best-seller la historia de El Tiempo para explicar por qu� un objeto con masa en reposo no puede jam�s alcanzar la velocidad de la luz. Y el aspirante a crackpot Michio Kaku lo utiliza en el v�deo del tema musical que insertaba al comienzo de la entrada.
Einstein nos llama a cap�tulo
En una carta publicada por Einstein en 1948 y dirigida a Lincoln Barnett, matizaba
No es bueno para introducir el concepto de la masa M = m /(1-v�/c�)½ de un cuerpo en movimiento para el que no puede darse una definici�n clara. Es mejor no introducir otro concepto de masa que 'la masa en reposo' m. En lugar de la introducci�n de M, es mejor hablar de la expresi�n para el impulso y la energ�a de un cuerpo en movimiento ".
Bien, ese matiz no impidi� al propio Einstein utilizar el concepto de masa relativista, pero lo hizo generalmente en el sentido de cantidad conservada en un sistema de part�culas, tal y como hemos visto en el ejemplo de la desintegraci�n del Higgs. La masa relativista de un sistema de part�culas tiene las dos propiedades interesantes para un f�sico: es una cantidad conservada y es invariante, es decir, es igual antes y despu�s de un cambio --como la desintegraci�n del bos�n de Higgs-- y es independiente del estado de movimiento del observador.
El origen de la masa
La f�sica es un arte complejo, pues hace operacionales conceptos que proceden de nuestro intuici�n. Entendemos la masa como un trozo de algo pero la f�sica nos ayuda a profundizar en teor�as que nos ense�an generalmente c�mo nuestra intuici�n sobre ese concepto iba desencaminada.
Hemos visto el jaleo montado con varios conceptos de masa: masa en reposo y masa relativista en la Relatividad Especial o como masa inercial y masa gravitatoria, estos �ltimos con nosotros desde Newton. Entender el papel de cada uno de esos conceptos y su interrelaci�n y equivalencia es lo que nos ha llevado a entender mejor el funcionamiento del mundo.
La equivalencia entre masa inercial y gravitatoria llev� a Einstein a la Teor�a General de la Relatividad. Curiosamente, en la TGR sobra el concepto de masa, que se sustituye por esa entidad que hab�amos denominado energ�a-momento (algo as� como nuestros tri�ngulos). En determinada condiciones, sin embargo, puede identificarse la energ�a-momento con la �nica masa relevante, que es la masa gravitatoria activa, es decir, la que crea el campo gravitatorio o equivalentemente deforma el espacio-tiempo, como sucede por ejemplo con una estrella o un planeta. Las dem�s masas (pasivas) se mueven en trayectorias ya determinadas por la primera.
La equivalencia entre masa y energ�a nos ha llevado a entender mejor los procesos nucleares. Y de hecho ahora sabemos que, al menos parte de lo que intuimos como masa, es en realidad consecuencia de las energ�as puestas en juego en la interacciones. Sabemos la masa de los objetos cotidianos es debida los n�cleos de los �tomos que los forman. Esos n�cleos est�n formados por protones y neutrones. Hemos visto, adem�s, que la masa de un n�cleo at�mico es menor que la suma de las masas de los nucleones que los forman. Ese defecto de masa es debido a las fuerza nucleares, como explic�bamos m�s arriba.
Pero sabemos, adem�s, que los protones y neutrones est�n formados por quarks en un campo de gluones, part�culas portadoras de la interacci�n entre quarks. As�, lo que denominamos la masa en reposo de un nucle�n (prot�n o neutr�n) es m�s de un 90% debida a la energ�a cin�tica de los quarks y gluones y a sus energ�as potenciales debido a la interacci�n nuclear fuerte (las 上外国的网站东西加速软件 pueden diferir). [Ver este 上外国的网站东西加速软件 con una magn�fica explicaci�n]
Entender el origen de la masa tiene mucho que ver con entender la estructura de la materia y la f�sica al nivel m�s fundamental. As�, despu�s de su reciente descubrimiento, hemos o�do como el bos�n de Higgs ayuda a entender de d�nde procede la masa de las part�culas del Modelo Est�ndar, pero lo cierto es que no parece que soluciones el problema de entender de d�nde procede toda la masa del propio Higgs. Tenemos adem�s que podr�an existir part�culas m�s all� del Modelo Est�ndar. Por ejemplo, todav�a no sabemos las part�culas que forman la materia oscura y en �ltimo t�rmino no sabemos qu� es la energ�a oscura y ni si est� de alguna manera relacionada con el mecanismo de Higgs. Todav�a queda un largo camino por recorrer, pero entender el origen de la ecuaci�n m�s famosa de la f�sica ha sido, sin duda, un enorme salto adelante en nuestra comprensi�n del origen de la masa.
Anotaciones
[1] No hace falta mucha sofisticaci�n t�cnica para estimar la luminosidad solar. Se puede partir de nuestra medida de la constante solar de 1360 W/m� y multiplicar por la superficie de la esfera cuyo radio es la distancia Tierra-Sol. Queda como ejercicio para el lector.
[2] La energ�a media por part�cula es del orden de kT donde k es a constante Boltzman y T la temperatura. Luego la energ�a media por part�cula en el n�cleo solar es de ~1,38 10⁻�� J/K � 1.5 10⁷ K = 2,76 10⁻�⁶ J ~ 2 keV
[3] La definici�n de Newton era circular, en el sentido de que para definir la densidad es necesario primero contar con una definici�n de masa. La definici�n que hago en el texto de masa inercial tambi�n lo es. Ha habido una discusi�n hist�rica que contin�a hasta nuestros d�as de lo que ser�a una buena definici�n formal de masa [ver Max Jammer(1999) en las referencias]
[4] Que la masa inercial sea igual a la masa relativista puede sorprender a m�s de uno. Pero lo cierto es que si consideramos una caja de paredes completamente reflectantes donde ponemos un fot�n, la masa inercial (y gravitatoria) de la caja aumenta seg�n la masa relativista del fot�n. Por supuesto, todo se trata de un juego de palabras. Cuando uno hace los c�lculos no se preocupa de esos juegos de definiciones. �Calla y calcula!
[5] Para los puristas, como con todo este embrollo, estamos haciendo interpretaciones. A la hora de hacer los c�lculos de la trayectoria de un fot�n s�lo hace falta seguir la regla de que su intervalo es nulo y aplicarlo a la m�trica en cuesti�n, la soluci�n de Schwarzschild en este caso.
Referencias
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Art Hobson Teaching 上外国的网站东西加速软件 The Physics Teacher 01/2005; 43:80-82. DOI: 10.1119/1.1855741
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Baierlein, R. (2007), “Does nature convert mass into energy?” Am. J. Phys., 75(4): 320–325.
Carl G. Adler 如何高速下载国外资源_IT互联网大叔的专栏-CSDN博客:2021-8-11 · 如可高速下载国外资源 jiese1990 做IT这一行，经常,下载一些国外的一些资源,可是让人蛋碎的是,往往这些资源下载都慢的像蜗牛,真的让人无法忍受.有时等待下载的时间比憋尿还难受.伡前也听别人说过下载资源有技巧,可 Am. J. Phys. 55, 739 (1987); http://dx.doi.org/10.1119/1.15314
Ethan Siegel. Where Does The Mass Of A Proton Come From? Start with a Bang Forbes 2016
Ethan Siegel. The Sun's Energy Doesn't Come From Fusing Hydrogen Into Helium (Mostly) Start with a Bang Forbes 2017
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Feynman Lectures on physics Ch.15
Frank Wilczek Origins of Mass
Matt Strassler [July 10, 2013] The Two Definitions of “Mass”, And Why I Use Only One
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Peter M. Brown On the concept of relativistic mass
Peter M. Brown A simple derivation of E = mc^2
R. I. Khrapko Rest mass or inertial mass?
Robert L. Lehrman, "Energy is not the ability to do work" Phys. Teach. 11, 15 (Jan. 1973)
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The Inertia of Energy. Mathpages
T.R. Sandin, In defense of relativistic mass Am. J. Phys., 59(11), Nov. (1991)
What is relativistic mass. Physics FAQ
What is the mass of a photon? Physics FAQ
2017-12-25 15:16 | Fisica |
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La utilizaci�n de las im�genes de un oso polar fam�lico est� causando un cierto flujo de comentarios en twitter sobre los que alguno denominan porno sentimental del clima.
Lo cierto es que el caso me record� a un an�logo humano, la foto de Kevin Carter de un ni�o sudan�s que cae desfallecido por el hambre mientras es observado de cerca por un buitre, una de las m�s duras que se pueda contemplar y una historia que utilizamos en este mismo blog, aunque tambi�n fuese una historia parcialmente falseada.
Ese tipo de im�genes nos recuerda que nuestro mundo puede ser terrible. Y nosotros, bien por acci�n o bien por inacci�n, podemos compartir cierta responsabilidad. Respondemos de manera visceral a esa im�genes, pero no tanto a los datos.
Los datos sobre la situaci�n del �rtico son terriblemente preocupantes.
La pregunta es, �c�mo le haces llegar esa sensaci�n de urgencia a la gente? �Le hablas s�lo de modelos clim�ticos, de cambios del albedo, de corrientes termohalinas y de ecosistemas o les cuentas una historia sobre un icono del mundo animal como es el oso polar?
Ese debate no es s�lo cuesti�n de opiniones, hay datos relevantes sobre las formas m�s efectivas de comunicar estas cosas. La utilizaci�n de esas im�genes es por supuesto muy discutible, pero lo m�s que me preocupa es que un efecto secundario de esa noticia haya significado cierta popularidad temporal de un negacionista patrio muy activo en la red que ha aprovechado el asunto para que su agenda llegue a m�s lectores, una estrategia de "siembra de duda" bien documentada en la bibliograf�a. Y me ha decepcionado lo dif�cil que parece para muchos divulgadores esc�pticos ser suficiente contundentes con la propaganda negacionista (asumo que por desconocimiento) cuando en otros temas como los efectos para la salud de las ondas electromagn�ticas, los transg�nicos o la homeopat�a son radicalmente contundentes.
Y s�, el oso polar es una especie muy vulnerable al deshielo del �rtico, un hecho perfectamente documentado por los expertos. Pero el mensaje va m�s all� de nuestra debilidad por ese enorme, hermoso y peligroso animal. El deshielo del �rtico no es s�lo un reto para la supervivencia del oso polar. Sus consecuencias lo ser�n para otras especies y sobre todo para los seres humanos; nuestras familias, nuestros hijos... B�sicamente todo aquello que nos importa.
Referencias:
Sobre la situaci�n de los osos polares, la mejor revisi�n bibliogr�fica en un post comprensible la hace Carbonbrief 20015.Polar bears and climate change: What does the science say?
Sobre la utilizaci�n que hacen los negacionistas de este tema para sus prop�sitos, tienen un buen art�culo con revisi�n de la bibliograf�a en Bioscience 2017 Internet Blogs, Polar Bears, and Climate-Change Denial by Proxy
Sobre la utilizaci�n de historias como forma de concienciaci�n tambi�n hay bibliograf�a acad�mica: Communicating Climate Change: Are Stories Better than “Just the Facts”?
Para una revisi�n actualizada del estado del �rtico ver Arctic Report Card 2017 en NOAA.
2017-12-13 23:23 | Ecologia, Cambio climatico, Sociedad, 上外国的网站东西加速软件 |
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